Question

微积分 为什么我会得出可导函数的导函数一定连续？

Answer 1

洛必达法则可以使用的条件中，有一个，就是使用洛必达法则后，新的极限式

lim（x→x0）f'（x）/g'（x）的极限是有限常数或∞，不能是左右极限不相等、无限震荡等极限不存在的情况。

你现在lim（x→0）[f（x）-f（0）]/（x-0）使用洛必达法则后

得到lim（x→0）f'（x）

你没有考虑一种情况，即lim（x→0）f'（x）是左右极限不相等、无限震荡等极限不存在的情况时。

这时候lim（x→0）[f（x）-f（0）]/（x-0）不可以使用洛必达法则，也就是说，当lim（x→0）f'（x）是左右极限不相等、无限震荡等极限不存在的情况时。不能证明lim（x→0）[f（x）-f（0）]/（x-0）也不存在。

所以当lim（x→0）f'（x）是左右极限不相等、无限震荡等极限不存在的情况，而lim（x→0）[f（x）-f（0）]/（x-0）极限存在的时候，两者不相等。这时候导函数不连续。

追问

也就是说
我并不知道fx是什么
所以limx→0 f'x 它其实并不一定存在 违背了洛必达的第2 条规则
对吗？

追答

不是这个意思。
你的式子只能说，如果f'（x）这个导函数在x→0的时候，有极限，也有定义的话，那么极限必然等于f'（0），即导函数有极限且有定义的点，就一定是导函数连续的点。
但是导函数无极限的点（不含极限是∞的点），不一定就无定义。这时候导函数的极限值就不等于函数值了（因为导函数极限值不存在而函数值可能存在）。这种情况下，导函数在该点就不连续了。
而你用洛必达法则错误在于没有考虑导函数在某点无极限的情况，认为洛必达法则前后的两个极限式子的极限情况必然一致。其实不一定一致。

举个例子f（x）=x²sin（1/x）（x≠0）；0（x=0）这样一个分段函数。
很明显，这个函数是连续的，因为lim（x→0）f（x）=lim（x→0）x²sin（1/x），这是无穷小（x²）和有界函数（sin（1/x））相乘，所以还是无穷小，极限是0，和函数值相等。
求在x=0点处的导数，得到
lim（x→0）[f（x）-f（0）]/（x-0）=lim（x→0）x²sin（1/x）/x=lim（x→0）xsin（1/x）
这仍然是无穷小（x）和有界函数（sin（1/x））相乘，所以还是无穷小，极限是0。
也就是说f'（0）=0
但是当x≠0的时候，f'（x）=2xsin（1/x）-cos（1/x）
那么当x→0的时候，cos（1/x）这个部分无限震荡，所以f'（x）=2xsin（1/x）-cos（1/x）没有极限。
这里就可以看到，当lim（x→0）f'（x）是无限震荡这种无极限的情况时，lim（x→0）[f（x）-f（0）]/（x-0）仍然有可能有极限，f'（0）仍然有可能有定义。