Question

考研数学题：等价无穷小

为什么 6x-sin6x 等价于 6分之一（6x）∧3

Answer 1

老师一定说过“等价无穷小的加减法不能随意替换”，此处就是一个例子，如果你认为sin(6x)等价于6x，那么两者相减就等于0了，是错的。
学到泰勒级数，你就知道，
sin(x)=x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
这个式子才是sin(x)的本来面目。我们常说的sinx等价于x,只是取了上面式子的第一项，也就是忽略了更高阶的无穷小而已。
此处用sin(6x)=6x - (6x)^3/3! + (6x)^5/5! - (6x)^7/7! + ...代入即可得到答案。

Answer 2

It's too easy!
Answer:( simple process)根据罗必达法则：
因为：当：x趋于0时，lim[(6x-sin6x)/(6x)³/6]=lim(1-cos6x)/18x²=lim(6sin6x)/36x=lim(sin6x/6x)=1
所以， 6x-sin6x 与 6分之一（6x）∧3是等价无穷小。
所以， 6x-sin6x 等价于 6分之一（6x）∧3

Answer 3

L.Hospital
btw: f(x)~g(x) x-->0
in fact
f(x)=g(x)+o(g(x))
according to the defination
ilm f(x)/g(x)=lim (g(x)+o(g(x)))/g(x) =1 (x-->0)