Question

证明方程x^5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根

Answer 1

令 f(x)=x^5 -5x +1
则f'(x)=5x^4 -5=5(x^4 -1)=5(x²+1)(x²-1)
令 f'(x)>0，得 x²>1，解得 x>1或x<-1
从而 f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上是增函数，在(-1，1）上是减函数。
又 f(0)=1，所以 f(0)f(-1)<0，而f(x)在(0,1)上减，即 f(x)在(0,1)上有且只有一个零点。
从而 方程x^5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根

Answer 2

f（x）=x^5-5x+1
f（1/2）<0
f（1）=5
f（1/2）*f（1）<0
在（1/2 1）之间有根
其实还得说明f（x）=x^5-5x+1是连续函数，但是对于初中或者没学导数就不必了

Answer 3

Δ=25-4=21>0 有根

x1+x2=5 x1×x2=1

相乘为正 可以判断出 两根通号 相加为正 可判断两根同为正

相乘为1 说明两根不可能都小于1或大于1， 那么只有一个大于1 一个小于1

所以方程有且只有一个小于1的正实根