如图,在四边形ABCD中,角ABC=30°,角ADC=60°,AD=CD,求证:BD²=AB²+BC²

千分一晓生
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如图,∵DA=DC,∠ADC=60°,

∴将△BCD绕点D逆时针转60°得△EAD,

∴AE=CB, ED=BD,∠EDA=∠BDC,∠DEA=∠DBC,

∴∠EDB=∠ADC=60°,

∴△BDE是正△,∴BE=BD,

∵∠DEA+∠DBA=∠CBD+∠DBA=30°,∠EDA+∠BDA=60°,

∴∠DAE+∠DAB=180*2-(∠DEA+∠DBA)-(∠EDA+∠BDA)=270°

∴∠EAB=90°,

∴AE²+AB²=BE²

∴BD²=BA²+BC²

mike2936
2012-08-08 · TA获得超过9190个赞
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证明:

如图,在BD的下方作等边△BDE

 

∵∠1+∠2=60°,∠3+∠2=60°

∴∠1=∠3

 

同时AD=CD,BD=DE

∴△ADB≌△CDE

∴DE=BD,CE=AB……①

∠5=∠A

 

又∵∠ABC=30°,∠ADC=60°

∴∠4+∠A=270°

即∠4+∠5=270°

∴∠6=90°

 

∴BE²=CE²+BC²

据①式,即BD²=AB²+BC²

 

 

 

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