Question

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（　　）
解答过程为：：∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴△ABC的外接圆的半径r=根 3/ 3 ，
∵点O到面ABC的距离d=根号（ R2-r2） =根 6 /3 ，SC为球O的直径
∴点S到面ABC的距离为2d

为什么s到面ABC的距离等于2d？

Answer 1

 

如轴截面图形所示（设OP交CE于D），

OD⊥CE, SE⊥CE，（则OD表示O到平面ABC的距离，SC表示S到平面ABC的距离）
∴OD∥SE，

∴△COD∽△CSE，

∴CD/SE=CO/CS=1/2     

 

但感觉不需要求SE，本题的关键是求三棱锥的高PD，直接在△COP内求即可：

∵  CD= 根号3/3，OC=1，

∴OD=根号6/3，

∴PD=OP-OD=(3-根号6)/3

Answer 2

记O垂直三角形于点D,作S到平面ABC的垂线、记为E，SC=2OC又因为OD平行于SC、所以OD是的三角形SCE中位线、所以S到平面的距离为2OD=2d