Question

如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，过AD的中点E作EF⊥AD交BC的延长线于F，连接AF。求证：∠B=∠CAF。

Answer 1

证明：
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵E是AD的中点，EF⊥AD
∴EF垂直平分AD
∴AF＝DF
∴∠ADF＝∠DAF
∵∠ADF＝∠B+∠BAD，∠DAF＝∠CAF+∠CAD
∴∠B＝∠CAF

追问

请问“EF垂直平分AD”是什么意思？

追答

E是AD的中点，EF⊥AD

追问

那为什么下面就直接变成了“AF=DF”？而且再下面的“∠ADF＝∠DAF”和这个有什么关系吗？
我是初一的，不懂太多，麻烦详细讲一讲它的原理以及性质好吗？

追答

∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵E是AD的中点
∴AD＝ED
∵EF⊥AD
∴∠AEF＝∠DEF＝90
∵EF＝EF
∴△AEF≌△DEF （SAS）
∴AF＝DF
∴∠ADF＝∠DAF
∵∠ADB＝180-（∠B+∠BAD），∠ADF＝180-∠ADB
∴∠ADF＝∠B+∠BAD
∵∠DAF＝∠CAF+∠CAD
∴∠B＝∠CAF

Answer 2

证明：
由EF垂直平分AD得fa=fd
所以，∠fad=∠fda。
∠fda=∠bad+∠abd[外角定理]
AD平分∠BAC得∠BAD=∠DAC
所以
∠BAD+∠ABD=∠DAC+∠CAD
所以<B=<CAF