Question

函数f(x)在定义域R上是偶函数，若对于x≥0,都有f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2]时，f(x)=log₂(x+1)

则f(2009)+f(-2010)=?
求过程。

Answer 1

∵x≥0时， f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
∴x≥0时，f(x)是周期函数，T=4
∴f(2009)=f(4*502+1)=f(1)
∵当x∈[0,2)时，f(x)=log₂(x+1)
∴f(1)=log₂2=1
∴f(2009)=1
∴f(2010)=f(4*502+2)=f(2)=-f(0)=0
∵f(x)在定义域R上是偶函数
∴f(-2010)=f(2010)=0
∴f(2009)+f(-2010)=1

Answer 2

因为：x≥0,有f(x+2)=-f(x)

那么f(x)=-f(x+2)=f(x+4)
f（x)是偶函数，那么f(-x)=f(x)
那么f(2009)+f(-2010)
=f(2008+1)+f(2010)
=f(1)+f(2008+2)
=f(1)+f(2)
=f(1)-f(0)
=log2(3)-log2(1)
=log₂3

追问

f(1)+f(2)
=f(1)-f(0)
怎么转换的？

追答

f(x+2)=-f(x)

所以f(0+2)=-f(0)
所以f(1）+f(2)=f(1)-f(0)

上面写的有点问题
f(2009)+f(-2010)
=f(2008+1)+f(2010)
=f(1)+f(2008+2)
=f(1)+f(2)
=f(1)-f(0)
=log2(2)-log2(1)
=1

追问

答案是1

追答

嗯，上面写了，最上面的代入写错了

Answer 3

(2) 由(1)可以知道，对x∈R,f（x）=|sinx| 当f（x）≥1/2时，x∈[π/6+kπ,5π/6+kπ],k∈Z 定义域在R上的函数f(x)对于任意x