Question

怎么用球坐标计算椭球的三重积分？

如图，求这题过程。

Answer 1

作广义球坐标变换。

令x＝arcosθsinφ,y＝brsinθsinφ，z＝crcosφ。算一下雅可比行列式，将结果代入被积函数。然后代入，类似球坐标积分。同时，注意被积函数中(x＋y＋z)²展开，其中yz,zx,xy在椭球区域上的积分为0。

直角坐标系法

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法

⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

①区域条件：对积分区域Ω无限制；

②函数条件：对f（x,y,z）无限制。

Answer 2

作广义球坐标变换。令x＝arcosθsinφ,y＝brsinθsinφ，z＝crcosφ。算一下雅可比行列式，将结果代入被积函数。然后代入，类似球坐标积分。同时，注意被积函数中(x＋y＋z)²展开，其中yz,zx,xy在椭球区域上的积分为0。