Question

等边△ABC内接于⊙O，P是 AB 上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，

等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）求证：△PCM为等边三角形（2）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积

Answer 1

、证明：
∵等边△ABC
∴AC=BC=AB，∠BAC=∠ACB=60
∵∠BPC、∠BAC所对应圆弧都是劣弧BC
∴∠BPC=∠BAC=60
同理：∠APC=∠ABC=60º
∴∠APB=120º
∵CM∥BP
∴∠MCP=∠BPC=60
∠M+∠APB=180º
∠M=60º
∴△PCM为等边三角形
(2)∵∠BCP=∠ACB-∠ACP=60-∠ACP，∠ACM=∠MCP-∠ACP=60-∠ACP
∴∠BCP=∠ACM
∵∠CAM为圆内接四边形APBC中∠PBC的外角
∴∠CAM=∠PBC
∴△ACM≌△BCP （ASA）
过点P作PG⊥CM于G
∵△ACM≌△BCP
∴AM=PB，PC=CM，∠M=∠BPC=60
∴等边△PCM
∵PA=1，PB=2
∴PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3
∴PC=CM=PM=3
∵PG⊥CM，∠M=60
∴PG=3×√3/2=3√3/2
∴S梯=（PB+CM）×PG÷2
=（2+3）×3√3/2÷2
=15√3/4