Question

AB为⊙o的直径,C为⊙o上一点,D为CB延长线上一点,且∠CAD=45,CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F、

AB为⊙o的直径,C为⊙o上一点,D为CB延长线上一点,且∠CAD=45,CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F。（1）求证：CE=EF (2)若DF=2，EF=4，求AC的长

Answer 1

证明：1、连接CF，∵△ABC∽△DBF，∴ AB：BC=BD：BF，
∴ AB：BD=BC：BF，又∵∠ABD=∠CBF，
∴△ABD∽△CBF，
∴∠ADC=∠CFB=180-∠DCA-∠CAD=180-90-45=45
∴△CEF为等腰直角三角形，直角为∠CEF，
∴CE=EF
2、∵△DBF∽△ABC，
∴DF：AC=BF：BC，推出AC=DF×BC/BF (1)
又∵△CEB∽△DBF
∴ DF：CE=BF：BE
由 CE=EF=4，DF=2，得出EB+BF=4，且2BF=EB，所以BF=4/3,EB=8/3，由
BC²=EB²+CE²=64/9+16=208/9，BC=4(根号13)/3
由式（1）得出AC=2×4（根号13）/3÷(4/3)=2（根号13）

追问

你全等都没证，看不懂啊

追答

不是全等，是相似，第一个是因为∠F=∠BCA=90，还有个对顶角，所以相似，△ABC∽△DBF
后面的两个三角形同样是∠F=∠CEB=90，还有个对顶角，所以相似，△CEB∽△DBF

追问

我们还没学相似呢！大哥，你让我怎么写？

追答

哦，那就采用正弦定理，方法基本上同下面的那个回答一样。

Answer 2

∵AB为直径d
∴AC⊥BC
又∵∠CAD=45°
∴AC=CD
EF=EB+BF=BCsin∠ECB+BDsin∠BDF= BCsin∠CAE+BDsin∠CAE
=(BC+BD)sin∠CAE=CDsin∠CAE=AC∠CAE=CE

剩下的用直角三角形求边长

Answer 3

都是高手啊，亏我想了一下午都没想出来，哎，老了。。