Question

设y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,y=x^2+2x-3

设y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,y=x^2+2x-3 求f(x)的解析式

Answer 1

设y=f(x)是定义在R上的奇函数，所以可得：f(0)=0
f(x)=-f(-x)
当x>0时有：-x<0
f(x)=-f(-x)
=-[(-x)^2+2(-x)-3]
=-x^2+2x+3
综上可得f(x)的解析式为：
当x<0时有：f(x)=x^2+2x-3
当x=0时有：f(x)=0
当x>0时有：f(x)=-x^2+2x+3

Answer 2

y=f(x)=x^2+2x-3
可以分为两部分
y1=x^2-3是偶函数
y2=2x是奇函数
y=y1+y2
y=f(x)是定义在R上的奇函数
因此
只需要将偶函数变成奇函数就可以了
故
x>0时
y=y1-y2
即
y=-x^2+2x+3

Answer 3

因y=f(x)是奇函数，关于原点对称，由f(-x)=-f(x)和x>0时f(x)=x^2-2x+3， 得
f(-x)=-f(x)=-(x)^2+2x-3,
令t=-x, 则t<0. 代入上式得
f(t)=-(-t)^2-2t-3=-(t)^2-2t-3
所以 x<0时f(x)的解析式是
f(x)=-x^2-2x-3,x<0
f(x)是定义在R上的奇函数，则f（0）=0
故 x^2-2x+3 x>0
f(x)= 0 x=0
-x^2-2x-3 x<0