Question

如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=1/2 BD，DF垂直AB于F。

如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=1/2 BD，DF垂直AB于F。求证：CD=DF

Answer 1

证明:延长AE,交BC的延长线于M.
∵∠AED=∠BCD=90°.
∴∠CAM=∠CBD(均为角M的余角);
又AC=BC;∠ACM=∠BCD=90°.
∴⊿ACM≌⊿BCD(ASA),AM=BD.
则AE=BD/2=AM/2,即AE=ME.
∴AB=MB.(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等).
∴∠ABE=∠MBE(等腰三角形底边的高也是顶角的平分线)
又DF垂直AB.故CD=DF.(角平分线的性质)