Question

△ABC是等腰直角三角形，△ACB=90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证

△ABC是等腰直角三角形，△ACB=90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC=∠BDE。

Answer 1

解：作CH⊥AB于H交AD于P，
∵在Rt△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA．
又∵BC中点为D，
∴CD=BD．
又∵CH⊥AB，
∴CH=AH=BH．
又∵∠PAH+∠APH=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∠APH=∠CPF，
∴∠PAH=∠PCF．
在△APH与△CEH中
∠PAH=∠ECH，AH=CH，∠PHA=∠EHC，
∴△APH≌△CEH（ASA）．
∴PH=EH，
又∵PC=CH-PH，BE=BH-HE，
∴CP=EB．
在△PDC与△EDB中
PC=EB，∠PCD=∠EBD，DC=DB，
∴△PDC≌△EDB（SAS）．
∴∠ADC=∠BDE．

追问

非常感谢

Answer 2

过C做一条垂线CH交AB于H，交AD于M，∠CAM=∠BCE（△ACD里面的双垂） AC=CB ∠ACH=∠CBE=45°△ACM全≌△CBE CM=BE，∠HCB=∠B CD=DB △

Answer 3

一直用余角转换，然后等量代换