正方体ABCD-A1B1C1D1,求证BD1⊥平面AB1C。
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先画个正方体。
证：∵D1A1⊥ABB1A(正方体）
∵BB1⊥
面ABCD
;
DD1
⊥面ABCD
∴D1A1⊥AB1
∴BB1⊥AC；
DD1
⊥AC
又∵A1B⊥AB1（正方形对角线垂直）
∴A
C⊥面BB1DD1
∴AB1⊥面A1D1B
∴AC⊥BD1②
∴AB1⊥BD1①
由①②得BD1⊥AB1C
证：∵D1A1⊥ABB1A(正方体）
∵BB1⊥
面ABCD
;
DD1
⊥面ABCD
∴D1A1⊥AB1
∴BB1⊥AC；
DD1
⊥AC
又∵A1B⊥AB1（正方形对角线垂直）
∴A
C⊥面BB1DD1
∴AB1⊥面A1D1B
∴AC⊥BD1②
∴AB1⊥BD1①
由①②得BD1⊥AB1C
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：∵D1A1⊥ABB1A
∵BB1⊥
面ABCD
;
DD1
⊥面ABCD
∴D1A1⊥AB1
∴BB1⊥AC；
DD1
⊥AC
又∵A1B⊥AB1正方形对角线垂直
∴A
C⊥面BB1DD1
∴AB1⊥面A1D1B
∴AC⊥BD1②
∴AB1⊥BD1①
由①②得BD1⊥AB1C
∵BB1⊥
面ABCD
;
DD1
⊥面ABCD
∴D1A1⊥AB1
∴BB1⊥AC；
DD1
⊥AC
又∵A1B⊥AB1正方形对角线垂直
∴A
C⊥面BB1DD1
∴AB1⊥面A1D1B
∴AC⊥BD1②
∴AB1⊥BD1①
由①②得BD1⊥AB1C
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