Question

已知数列{an}，Sn表示其前n项和，若Sn+an=n^2+3n-1,求证｛an-2n}为等比数列

Answer 1

证：
n=1时，Sn+an=an+an=2an=1+3-1=3
an=3/2
n≥2时，
Sn+an=n²+3n-1 (1)
S(n-1)+a(n-1)=(n-1)²+3(n-1)-1 (2)
(1)-(2)
Sn+an-S(n-1)-a(n-1)=2n+2
2an-a(n-1)=2n+2
2an=a(n-1)+2n+2
2an -4n=a(n-1)-2(n-1)
(an -2n)/[a(n-1) -2(n-1)]=1/2，为定值。
a1-2=3/2-2=-1/2
数列{an -2n}是以-1/2为首项，1/2为公比的等比数列。

Answer 2

证明：因为Sn+an=n^2+3n-1
所以S(n-1)+a(n-1)=(n-1)^2+3(n-1)-1
两式相减，得an+an-a(n-1)=(2n-1)+3
即an=1/2a(n-1)+n+1
所以an-2n=1/2[a(n-1)-2(n-1)]
故{an-2n}为等比数列