Question

初中数学难题 求解答

只有一组对角是直角的四边形（我们规定这一类四边形的集合为M），连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径（相当于经过这个四边形的四个顶点的园的直径）．
（1）如图2在坐标系中（网络小方格的单位长为1）的四边形EFGH是否为M中的四边形？给出简要说明；
（2）在图2中找到一个点P，使四边形EFPH为M中的四边形，并且这个四边形用一条直线分割成两块后可以拼成一个正方形。
要求：写出点P的坐标.画出分割线，并说明理由。

Answer 1

 解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；  （2）作图如图：  ∵点P为AC中点， ∴PA=PC= 1 2 AC． ∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴BP=DP= 1 2 AC， ∴PA=PB=PC=PD， ∴点A、B、C、D在以P为圆心， 1 2 AC为半径的同一个圆上；  （3）∵菱形ACEF，∴∠ADC=90°，AE=2AD，CF=2CD， ∴四边形ABCD为损矩形， ∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD=45°，∴  AD =  CD ，∴AD=CD， ∴四边形ACEF为正方形． ∵BD平分∠ABC，BD=4 2 ，∴点D到AB、BC的距离h为4， ∴S△ABD= 1 2 AB×h=2AB=6．S△ABC= 1 2 AB×BC= 3 2 BC， S△BDC= 1 2 BC×h=2BC，S△ACD= 1 4 S正方形ACEF= 1 4 AC2= 1 4 （BC2+9）， ∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABD+S△BCD ∴ 3 2 BC+ 1 4 （BC2+9）=6+2BC ∴BC=5或BC=-3（舍去）， ∴BC=5 

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追答

这是如上说的图二吗？

追问

嗯

追答

可上图的字母看不清啊

追问

追答

你根据我发的图做一下就行了

追问

不会啊 ，你能不能再做一次啊

追答

好，你等一下，我做完了发上来

Answer 2

（1）是。过G作两坐标轴垂线于M、N

则FN/GN=HM/GM=1/2

∴△FNG相似△HMG

∴∠FGH=∠MGN=90°=∠FEH

∴EFGH是损矩形。

（2）P（7，7）

可证明FP=HP=5根号2

分割线为直线y=-4x+6，即直线交x轴于（1.5，0）

由勾股定理可得两△全等

∴拼成的四边形为正方形。