Question

这是一道三角函数数学题，求解谢谢了

Answer 1

设cos(A-B)=u,属于(-cosC,1],
1/(sinA)^2+1/(sinB)^2
=[(sinA)^2+(sinB)^2]/(sinAsinB)^2
=2(2-cos2A-cos2B)/[cos(A-B)-cos(A+B)]^2
=2[2-2cos(A+B)cos(A-B)]/(u+cosC)^2
=4(1+ucosC)/(u+cosC)^2,记为f(u)
f'(u)=4{cosC/(u+cosc)^2-2(1+ucosC)/(u+cosC)^3]

=4[(cosC)^2-2-ucosC]/(u+cosC)^2<0,
所以f(u)是减函数，最小值是f(1)=4/(1+cosC).
下面研究v=1/(1+cosC)+1/(1+sinC)
=(2+sinC+cosC)/(1+sinC+cosC+sinCcosC),
设t=sinC+cosC属于(-1,√2],则sinCcosC=(t^2-1)/2,
v=(2+t)/[1+t+(t^2-1)/2]
=2(t+2)/(t^2+2t+1),
=2(t+2)/(t+1)^2
=2[1/(t+1)+1/(t+1)^2],为减函数，
v的最小值=v(√2)=2(√2+2)/(√2+1)^2=2√2(√2-1）=4-2√2，
所以m的最小值=4（4-2√2）=16-8√2.

追问

其实我用不等式做出了一个简单的办法，不过你的也分常好，这方法不是一般人能想出来的 。

追答

知道了。