Question

|f(x)-m|<2在x∈[π/4,π/2]上恒成立，求实数m的取值范围。

已知函数f(x)=2sin²(π/4+x)-√3cos2x,x∈[π/4，π/2]。

Answer 1

由|f(x)-m|<2得-2+f(x)<m<2+f(x)
f(x)=2sin²(π/4+x)-√3cos2x
=1-cos(2(π/4+x))-√3cos2x
=1-cos(π/2+2x)-√3cos2x
=1+sin2x-√3cos2x
=1+2sin(2x-π/3)
x∈[π/4，π/2],则2x-π/3∈[π/6,2π/3]
所以sin(2x-π/3)∈[1/2,√3/2]
所以f(x)∈[2,1+√3]
要使-2+f(x)<m<2+f(x)恒成立，则m要大于-2+f(x)的最大值，小于2+f(x)的最小值，即
√3-1<m<4

追问

我到f(x)∈[2,1+√3]这步都是和你一样的、、底下还是有点没明白。为什么m要大于-2+f(x)的最大值，小于2+f(x)的最小值？m不是只要大于2+f(x)的最大值不就行了么？

追答

不好意思，我原来算错了。''sin(2x-π/3)∈[1/2,√3/2]''应为''sin(2x-π/3)∈[1/2,1]''
那么就有f(x)∈[2,3],所以最后m的取值范围应为1<m<4
至于你说的那个问题，因为|f(x)-m|<2恒成立等价于-2+f(x)<m<2+f(x)恒成立，
而-2+f(x)∈[0,1], 2+f(x)∈[4,5].
要使-2+f(x)<m恒成立，那么从数轴上看，m必须大于1才行。
否则，一旦m取小于等于1的任何值，比如m取1，若此时f(x)=3,则-2+f(x)=1，就不满足-2+f(x)<m了。
同理，要使m<2+f(x)恒成立，m必须小于4才行。
综合得1<m<4

Answer 2

f(x)=1-cos(π/2+2x)-√3cos2x=1+sin2x-√3cos2x=1+2(1/2sin2x-√3/2cos2x}=1+2(sinπ/6*sin2x-cosπ/6*cos2x)=1-2cos(2x+π/6).
|f(x)-m|=|1-m-2cos(2x+π/6)|<2
-2<1-m-2cos(2x+π/6)<2
-3<-m-2cos(2x+π/6)<1
m-3<-2cos(2x+π/6)<m+1
-(m+1)/2<cos(2x+π/6)<-(m-3)/2
x∈[π/4,π/2]，则cos(2x+π/6)∈[-1,-1/2]
要使|f(x)-m|<2在x∈[π/4,π/2]上“恒成立”，要有：
-(m+1)/2<-1 且 -(m-3)/2>-1/2
解得：m>1且m<4， 及1<m<4

Answer 3

（1,4）