Question

大学物理，怎样用微积分求解物体在光滑圆弧轨道上运动的问题？

例如取一个光滑半圆弧轨道，开口朝上固定在地面上。将一质量为m的质点置于轨道边缘无初速释放，重力加速度为g，怎样不利用能量守恒而纯粹使用微积分求v(t)和v(θ)？

Answer 1

牛顿第二定律mdv/dt=F，列微分方程就可以了。守恒也只是牛二的积分形式。
列切向方程mdv/dt=mgcosθ。因为v=rdθ/dt，可以先计算θ(t)。方程化为rd²θ/dt²=gcosθ，可以通过解t(θ)得到微分方程的解。

若要得到v(θ)，因为dv/dt=dv/rdθ*rdθ/dt=vdv/rdθ，则mvdv=mgrcosθdθ。
积分m∫vdv=mgr∫cosθdθ
得到½mv²|=mgrsinθ|，和能量守恒一致。