Question

已知数列{an}{bn}满足a1=3,当n≧2时，an-1+an=4n,对于任意的正整数n，b1+2*b2+…+2^(n-1)bn=n*an

设﹛bn﹜的前n项和为Sn
(1)求数列{an}的通项公式 （2）求满足13＜Sn＜14的集合

Answer 1

解：
1.
n≥2时，
a(n-1)+an=4n (1)
an+a(n+1)=4(n+1) (2)
(2)-(1)
a(n+1)-a(n-1)=4，为定值。
a(n+1)-an+an-a(n-1)=4
a(n+1)-an -2=-[an-a(n-1)-2]
a1+a2=4×2 a2=4×2-a1=8-3=5
a2-a1-2=5-3-2=0
数列{a(n+1)-an-2}是各项均为0的常数数列。
a(n+1)-an=2，为定值。数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列。
an=3+2(n-1)=2n+1
数列{an}的通项公式为an=2n+1
2.
b1+2b2+...+2^(n-1)×bn=nan (1)
b1+2b2+...+2^(n-2)×b(n-1)=(n-1)a(n-1) (2)
(1)-(2)
2^(n-1)×bn=nan-(n-1)a(n-1)=n(2n+1)-(n-1)[2(n-1)+1]=4n-1
bn=(4n-1)/2^(n-1)=n/2^(n-3) -1/2^(n-1)
Sn=1/2^(1-3)+2/2^(2 -3)+...+n/2^(n-3) -[1/2^0+1/2^1+...+1/2^(n-1)]
令Cn=1/2^(1-3)+2/2^(2 -3)+...+n/2^(n-3)
则Cn/2=1/2^(2-3)+2/2^(3-3)+...+(n-1)/2^(n-3)+n/2^(n-2)
Cn-Cn/2=Cn/2=1/2^(1-3)+1/2^(2-3)+...+1/2^(n-3)-n/2^(n-2)
=8(1/2^1+1/2^2+...+1/2ⁿ) -n/2^(n-2)
=8×(1/2)×(1-1/2ⁿ)/(1-1/2) -n/2^(n-2)
=8 -8/2ⁿ -4n/2ⁿ
=8-(4n+8)/2ⁿ
Cn=16-(8n+16)/2ⁿ
Sn=Cn-[1/2^0+1/2+...+1/2^(n-1)]
=16-(8n+16)/2ⁿ -(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)
=14-(8n+14)/2ⁿ
13<Sn<14
0<(8n+14)/2ⁿ<1
8n+14<2ⁿ
n≥6
所求集合为{n|n≥6，n∈N+}

追问

a2-a1-2=5-3-2=0
数列{a(n+1)-an-2}是各项均为0的常数数列。
没有一般依据啊，怎么推

追答

这还没有依据？无语。
a(n+1)-an -2=-[an-a(n-1)-2]
因为此处不知道a(n+1)-an -2和an-a(n-1)-2是否为0，因此不能直接[a(n+1)-an-2]/[an-a(n-1)-2]=-1，要判断a2-a1-2的值，结果是a2-a1-2的值为0，要知道不管是+0还是-0，都是0。因此数列{a(n+1)-an-2}各项均为0。这再没有依据，我就不知道在你心目中“依据”的定义是什么了。

追问

我要一般依据，就是得到a(n+1)-an-2=0=常数

追答

你先把你所谓的“依据”的定义给我说一下好吗？你所谓的“一般依据”是指？
本题非常清楚，不想过多解释了。
a(n+1)-an -2=-[an-a(n-1)-2]
a1+a2=4×2 a2=4×2-a1=8-3=5
a2-a1-2=5-3-2=0
数列{a(n+1)-an-2}是各项均为0的常数数列。

我的解释就是这个，你如果不理解，再想想吧，很简单的，不多说了。

追问

你的结论是从一般到特殊，我知道这样肯定是对的，可是如果得分，不是满分，你只是说a2-a1-2=0，但对于a9999-a9998-2=0，是否成立却没有确凿的证明，我要的是通式，不过还是谢谢，没写总比写了好

追答

看来你完全不懂。
a(n+1)-an -2=-[an-a(n-1)-2]
a1+a2=4×2 a2=4×2-a1=8-3=5
a2-a1-2=5-3-2=0
数列{a(n+1)-an-2}是各项均为0的常数数列。

这里n+1、n是白写的吗？写的就是一般的，你的所谓a9999，a9998还是特例，所以说你完全不懂。好了，不要试图辩解你如何正确了，你错了就是错了，没什么意思，不懂就是不懂，不会就是不会，不懂装懂更让人笑话。感觉你很无聊，明明是自己不懂，举特例，还说别人写的不是一般形式，就这样吧。没工夫陪你耗时间了，再说一遍，我写的就是一般情况，看不懂不要瞎说。就这样吧，不要再追问了。

追问

反正老师说事不对的，脾气真差

而且你后面bn=(4n-1)/2^(n-1)=n/2^(n-3) -1/2^(n-1)应该是bn=(4n-1)/2^(n-1)=n/2^ (3-n) -1/2^(n-1)吧
别人提出来肯定是不懂，懂了还提你妹啊，莫名其妙，

追答

好了，你去问你的老师吧，如果你的老师还没有被你气死的话。

追问

十多天之后，回来告诉你他怎么说，，反正谢谢了，不好意思，那个“而且你后面bn=(4n-1)/2^(n-1)=n/2^(n-3) -1/2^(n-1)应该是bn=(4n-1)/2^(n-1)=n/2^ (3-n) -1/2^(n-1)吧”是你对的，我算错了