Question

请问这个积分是怎么算的啊？

Answer 1

∫e^(-2t)sintdt
=-∫e^(-2t)d(cost)
=-e^(-2t) cost+∫costd[e^(-2t)]
=-e^(-2t) cost -2∫e^(-2t)costdt
=-e^(-2t) cost -2∫e^(-2t)dsint
=-e^(-2t) cost -2e^(-2t)sint+2∫sintd[e^(-2t)]
=-e^(-2t) cost -2e^(-2t)sint - 4∫e^(-2t)sintdt
所以∫e^(-2t) sintdt=-1/5 e^(-2t)cost-2/5 e^(-2t) sint +C
所以∫(0，π) e^(-2t)sintdt=1/5 e^(-2π) +1/5

Answer 2

分享一种“简捷”解法，应用欧拉公式求解。设I1=∫(0,π)[e^(-2t)]costdt，I2=∫(0,π)[e^(-2t)]sintdt。
∴I=I1+iI2=∫(0,π)e^[-(2-i)t]dt=[-1/(2-i)]e^[-(2-i)t丨(t=0,π)=[1+e^(-2π)]/(2-i)。
而，1/(2-i)=(2+i)/5。∴I2=[1+e^(-2π)]/5，原式=(π/5)[1+e^(-2π)]∑e^(-4kπ)。
供参考。