正方形ABCD中,点E,F分别在BC,AD的延长线上,且EA垂直于CF垂足为H,AE与CD相交于点G求证:AG=CF;当点G为CD的
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如图左,∵∠DAG+∠AFH=∠DCF+∠AFH=90°,
∴∠DAG=∠DCF,
又∵∠ADG=∠CDF=90°,AD=CD,
∴△ADG≌△CDF,
∴AG=CF
取CE中点M,连结FM,
∵DG=CG,∠DGA=∠CGE,∠ADG=∠ECG=90°,
∴△ADG≌△ECG,
∴CE=AD=CD,
∵DF=CG=CD/2,CM=CE/2,
∴DF=CM,又∵DF∥CM,
∴四边形CDFM是平行四边形,又∵∠CDF=90°,
∴四边形CDFM是矩形,
∴FM⊥CE,
∴EF=CF(线段中垂线上的点到线段两端的距离相等)
如右图,连结AC
∵EF=EC,AE⊥CF,
∴∠1=∠2,CH=FH(等腰三角形三线合一)
∵AD∥BC,
∴∠3=∠1,
∴∠3=∠2,
∴AF=EF=CE,
∴四边形ACEF是菱形
∴AF=AC=2根号2,
∴DF=AF-AD=2根号2-2=DG,
CG=CD-DG=4-2根号2
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