Question

正方形ABCD中,点E,F分别在BC,AD的延长线上,且EA垂直于CF垂足为H,AE与CD相交于点G求证：AG=CF；当点G为CD的

中点时，FC=FE

如果正方形ABCD的边长为2，当EF=EC，求DC的长

Answer 1

如图左，∵∠DAG+∠AFH=∠DCF+∠AFH=90°，

∴∠DAG=∠DCF，

又∵∠ADG=∠CDF=90°，AD=CD,

∴△ADG≌△CDF,

∴AG=CF

 

取CE中点M，连结FM，

∵DG=CG，∠DGA=∠CGE，∠ADG=∠ECG=90°，

∴△ADG≌△ECG，

∴CE=AD=CD,

∵DF=CG=CD/2，CM=CE/2，

∴DF=CM，又∵DF∥CM，

∴四边形CDFM是平行四边形，又∵∠CDF=90°，

∴四边形CDFM是矩形，

∴FM⊥CE，

∴EF=CF(线段中垂线上的点到线段两端的距离相等)

 

如右图，连结AC

∵EF=EC，AE⊥CF，

∴∠1=∠2，CH=FH（等腰三角形三线合一）

∵AD∥BC，

∴∠3=∠1，

∴∠3=∠2，

∴AF=EF=CE，

∴四边形ACEF是菱形

∴AF=AC=2根号2，

∴DF=AF-AD=2根号2-2=DG，

CG=CD-DG=4-2根号2

Answer 2

因为EA垂直于CF垂足为H，所以三角形CHG与三角形CDF相似，所以角CGH等于角CFD，又因为角AGD=角CGH，所以角CFD=角AGD，又因为AD=CD，角ADG=角CDF，所以三角形ADG与CDF全等，所以AG=CF
当点G为CD的中点时，三角形ADG与三角形ECG全等，所以CE=CD，所以四边形CDFE为正方形，所以FC=FE
如果正方形ABCD的边长为2，当EF=EC，DC=2