Question

1、利用观察法，求下列微分方程的通解（1） y"-3y'+2y=0;(2) y"-y=x^2？

Answer 1

利用观察法，求下列微分方程的通解（1） y"-3y'+2y=0;(2) y"-y=x^2？
1、 微分方程（1） y"-3y'+2y=0，是常系数二阶齐次方程。
2、 微分方程 (2) y"-y=x^2， 是常系数二阶非齐次方程。
具体的详细求微分方程通解过程见上图。

Answer 2

解：∵微分方程为y''-3y'+2y=0
∴设方程的特征值为a，有
a²-3a+2=0，得：a=1或2
∴方程的特征解为e∧x、e∧2x
∴方程的通解为y=be∧x+ce∧2x
(a、b为任意常数)
∵微分方程为y''-y=x²
∴设方程的特征值为a，有
a²-1=0，得：a=±1
∴方程的特征解为e∧x、e∧(-x)
∵方程的右式为x²
∴设方程的特解为y=bx²+cx+d，
y''=2b
∴2b-(bx²+cx+d)≡x²，得：
b=-1，c=0，d=-2
∴y=-x²-2
∴方程的通解为y=Ae∧x+Be∧(-x )-x²-2(A、B为任意常数)