Question

如图,在正方形ABCD中,AB=4,点E是边CD上的任意一点（不与C，D重合），将△ADE沿AE翻折至△AFE，

延长EF交边于G，连结AG；求证 △ABG≌△AFG；若设DE＝x，BG＝y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；连结CF，若AG平行于CF，求DE的长

Answer 1

根据题意作图：

 

由于EF、AF线是由ED和AD翻折得来，于是△ADE≌△AFE，故AF＝AD，∠ADE＝∠AFE＝90°；

在△AFE和≌△ABG中，因∠AFG＝∠ABG＝90°，AF＝AB(＝AD)，AG为共用边，

所以：RT△AFG≌RT△ABG；

 

若DE=x，BG＝y，则FG=BG=y，因EFG在同一直线上，EG=EF+FG=DE+BG=x+y，

另有 EC=DC-DE=4-x，CG＝BC-BG=4-y，

△ECG为直角三角形，由勾股定理：EG*EG＝EC*EC+CG*CG，

即有：(x+y)^2=(4-x)^2+(4-y)^2，

化简得：xy+4x+4y-16=0；

因E点限制在CD上且不与C、D重合，所以0<x<4；

 

若CF∥GA，则∠CFG=∠AGF=∠AGB=∠FCG，△GFC是以FC为底边的等腰三角形；

于是CG=FG=BG=y，G位于BC边的中点，y=2；代入y~x函数关系式可求出x；

由：x*2+4x+4*2-16=0，得：x=4/3；

Answer 2

设D为原点（0，0),A(0,4),B(4,4),C(4,0)
E(x,0)
tanEAD=tanFAE=x/4
EF的斜率=tan 2EAD = x/2 /(1-x^2/16) =8 x/(16-x^2)

EF的方程为 Y= 8x/(16-x^2) (X - x)
与BC的交点为G（4，8x/(4+x))
BG = 4 - 8x/(4+x) = (16-4x)/(4+x)
EG = sqrt((4-x)^2 + (8x/(4+x))^2) = (16+x^2)/(4+x)
EG-x = FG = (16+x^2 - 4x-x^2)/(x+4) = (16-4x)/(4+x)
所以FG=BG，又AF=AD=AB
ABG与AFG全等
y = BG = (16-4x)/(4+x) x<2