Question

一道关于导数的数学题

题目：当x>0时分段函数f(x)=x^2sin1/x，x≤0时f(x)=ax+b。已知该分段函数在x=0处可导，求a，b
解：①由x=0处可导知其连续则有lim(x->0+)x^2sin1/x=0=b。
②再由x=0处左右极限相等得到等式：lim(x->0+)[f(x)-f(0)]/x=0=a
③故a=b=0
请问：第二步里我如果不按定义求左极限而直接求出f(x)(x>0)的导函数得到
f'(x)=2xsin1/x-cox1/x再求x->0+的极限得到：-cos(+∞)≠0 故a≠0与上面的结果不一 样这是为什么？

Answer 1

在求分段点不连续的一端的导数值时，不能直接求导函数的极限，只能按定义求
比如这个题求0处的右导数可以直接求导函数=a
但0处的左导数不能直接求，必须按定义求，因为x=0的值不在这端，而在另外一端
从求解过程就可以看出，按定义求时分子上的f(0)带入的应该是ax+b在x=0处的值：a*0+b
而导函数带入得是x^2sin1/x在x=0处的值，这是不对的

Answer 2

当然有问题，
用导数的方法已经假定在x=0可导了。但是如果a=b=0不能满足，那么函数不可导。因此用求导的方法做是倒因为果了，犯了逻辑性错误。

Answer 3

这里只是已知了函数在一点处可导，这是唯一的条件；