Question

求这题导数的过程

高三理科数学导数大题

Answer 1

(1)
因为f(x)=x²-x+alnx
所以f'(x)=(2x²-x+a)/x
所以当(1+√(1-8a))/4>x>0时，f'(x)<0，当x>(1+√(1-8a))/4时，f'(x)>0
所以当(1+√(1-8a))/4>x>0时，f(x)单调递减，当x>(1+√(1-8a))/4时，f(x)单调递增
所以f(x)在x=(1+√(1-8a))/4处取得最小值
又f(x)只有一个零点，且f(1)=0
所以(1+√(1-8a))/4=1（这里略有一点不严谨，其实需要说明当x趋近于0和x趋近于+∞时，函数值都是正的）
所以a=-1
(2)
根据f(x)的单调性，我们可以知道0<x1<1<x2
令g(x)=f(x)-f(2-x)=2x-2-lnx+ln(2-x)，x∈(0,1]，则
g'(x)=2-1/x+1/(x-2)=2(x-1)²/(x²-2x)
所以g(x)在(0,1]上单调减
所以对于任意x∈(0,1)，有g(x)>g(1)=0
所以对于任意x1∈(0,1)，有f(x1)>f(2-x1)
因为f(x)在(1,+∞)上单调递增，且f(x1)=f(x2)
所以x2>2-x1
也就是x1+x2>2

Answer 2

f(x)=x²-x+alnx,(a<0)
f'(x)=2x-1+a/x,

令f'(x)=0,得方程2x²-x+a=0,
根据韦达定理有x1*x2=a/2<0,
故两个根一正一负,
但f(x)的定义域为(0,+∞),所以负值无意义,
所以f'(x)=0的解只有一个正值解x=(1+√(1-8a))/4
f(x)在此处有极小值。
∵f(x)只有一个零点,
∴f(x)在x=(1+√(1-8a))/4处与x轴相切,极小值为0。
即((1+√(1-8a))/4)²-(1+√(1-8a))/4+aln((1+√(1-8a))/4)=0,
这方程怎么解？

追问

貌似大家都卡在这一步了，呀，本来还以为第一问能拿分，一写一下。不会了

追答

用解题软件得到结果是a=-1,
过程我不会，抱歉