Question

高数这一题怎么写，求解答

Answer 1

这道题出的很好
先采用一阶线性微分方程通解公式，解出un
再利用幂级数求和求出Un（x）

Answer 2

分几步来计算吧
1、先解上述微分方程
假定 Un(x)=A(x)*e^(2x)
代入原方程后，得到
A'(x)e^(2x)+2A(x)e^(2x)-2A(x)e^(2x)=x^(n+1)e^(2x)
A'(x)=x^(n+1)
积分后，得到：
A(x)=[x^(n+2)]/(n+2)+C
于是，得到
Un(x)=A(x)e^(2x)
={[x^(n+2)]/(n+2)+C}e^(2x)
2、根据初始条件确定系数C
因为 Un(1)=e^2/(n+2)
结合上述方程，得到：
Un(1)={1/(n+2)+C}e^2=e^2/(n+2)
求出 C=0
于是
Un(x)={[x^(n+2)]/(n+2)}e^(2x)
3、根据泰勒级数展开的性质，可知
ln(1-x)=-1-x-x^2/2-x^3/3-......-x^n/n-......
推出
ln(1-x)+1+x+x^2/2=-x^3/3-......-x^n/n-......
因此，最终得到：
Sn=∑Un(x) = [ln(1-x)+x^2/2+x+1]e^(2x)

Answer 3

解这个微分方程时，不要管n，就把n当成常数
u'=2u+x^(n+1)e^(2x)(*)
先求对应的齐次方程u'=2u
du/u=2dx，ln|u|=2x+C
u=C e^(2x)
由常数变易法，令u=C(x)e^(2x)
代入原方程(*)，得
C'(x)=x^(n+1)
C(x)=x^(n+2)/(n+2)+C
故原方程的通解为
u=[x^(n+2)/(n+2)+C] e^(2x)
由u(1)=[1/(n+2)+C] e² =e²/(n+2)知，C=0
故u=x^(n+2)e^(2x)/(n+2)
∑u=e^(2x) ∑[n:1→+∞]x^(n+2)/(n+2)=e^(2x) g(x)
则g'(x)=∑[n:1→+∞]x^(n+1)=x²/(1-x)
g(x)=∫[0,x]x²dx/(1-x)+g(0)=-x²/2 -x+ln|x-1|
故u=(-x²/2 -x+ln|x-1|)e^(2x)

Answer 4

如图所示