Question

9年级数学题，有图

Answer 1

2012年IMO国际数学奥林匹克试题第五题

已知三角形 ABC中, ∠BAC=90 度, D是过顶点 C的高的垂足. 设 X是线段 CD内部一点. K是线段 AX上一点, 使得 BK=BC. L是线段 BX上一点, 使得AL=AC. 设 M是 AL与 BK的交点. 证明: MK=ML.

 

解答: 因为 AL 平方 =AC 平方 =AD*AB,

 所以 △ALD和 △ABL相似, 

因此 ∠ALD=∠XBA.

设 R是射线 DC上一点, 使得DX*DR=BD*AD. 

由于 ∠BDX=∠RDA=90 度

可以推得 △RAD∼△BXD, 

因此∠XBD=∠ARD, 

从而 ∠ALD=∠ARD即 R, A, D, 和 L四点共圆. 

这说明 ∠RLA=90 度,

 于是 RL 平方=AR平方 −AL平方 =AR 平方−AC平方. 

类似地, 我们可以得到 RK 平方 =BR 平方 −BC平方及 ∠RKB=90 度. 

因为 RC⊥AB

我们有 AR平方−AC 平方 =BR平方 −BC 平方, 

因此 RL 平方 =RK平方即 RL=RK.

又因为 ∠RLM=∠RKM=90度

我们可以推得

MK 平方 =RM 平方−RK平方 =RM 平方 −RL 平方=ML平方 , 

从而 MK=ML.

 

Answer 2

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