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考研数学三高数微分方程问题如图,答案选A,我怎么觉得应该是B啊?
1个回答
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提供的选项无一是正确的!
⑴ 首先,从题干提供的通解形式看,
①y1=C1e^(2x)+C2xe^(2x)是对应的齐次方程的通解;
②y2=(Ax+B)e^(2x)是非齐次方程的一个特解。
⑵ 原方程对应的齐次方程的通解要想具有①的模样,必须对应的特征方程是λ^2-4λ+4=0.这就要求a=4.所以C、D都不对。
由于非齐次方程的特解具有形式
Y*=x^kQ(x)e^(bx)
其中Q(x)是和原方程右端非齐次项中e^(bx)前面的x具有相同次数的多项式,即一次多项式Ax+B;而在b=2是特征重根时应该取k=2.所以,特解应该具有形式Y*=x^2(Ax+B)e^(2x).
综上,通解应该具有形式
y=C1e^(2x)+C2xe^(2x)+x^2(Ax+B)e^(2x).
也就说,提供的选项没有一个是正确的。
⑴ 首先,从题干提供的通解形式看,
①y1=C1e^(2x)+C2xe^(2x)是对应的齐次方程的通解;
②y2=(Ax+B)e^(2x)是非齐次方程的一个特解。
⑵ 原方程对应的齐次方程的通解要想具有①的模样,必须对应的特征方程是λ^2-4λ+4=0.这就要求a=4.所以C、D都不对。
由于非齐次方程的特解具有形式
Y*=x^kQ(x)e^(bx)
其中Q(x)是和原方程右端非齐次项中e^(bx)前面的x具有相同次数的多项式,即一次多项式Ax+B;而在b=2是特征重根时应该取k=2.所以,特解应该具有形式Y*=x^2(Ax+B)e^(2x).
综上,通解应该具有形式
y=C1e^(2x)+C2xe^(2x)+x^2(Ax+B)e^(2x).
也就说,提供的选项没有一个是正确的。
追答
正答忽略了b≠2的情形,抱歉!
事实上,在a=4、b≠2的情况下,k应该取0,因而非齐次方程的特解刚好具有形式
Y*=(Ax+B)e^(bx).
所以,答案应该选择B
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