Question

考研数学三高数微分方程问题如图，答案选A，我怎么觉得应该是B啊？

Answer 1

提供的选项无一是正确的！
⑴ 首先，从题干提供的通解形式看，
①y1＝C1e^(2x)+C2xe^(2x)是对应的齐次方程的通解；
②y2＝(Ax+B)e^(2x)是非齐次方程的一个特解。
⑵ 原方程对应的齐次方程的通解要想具有①的模样，必须对应的特征方程是λ^2-4λ+4＝0.这就要求a＝4.所以C、D都不对。
由于非齐次方程的特解具有形式
Y*＝x^kQ(x)e^(bx)
其中Q(x)是和原方程右端非齐次项中e^(bx)前面的x具有相同次数的多项式，即一次多项式Ax+B；而在b＝2是特征重根时应该取k＝2.所以，特解应该具有形式Y*＝x^2(Ax+B)e^(2x).
综上，通解应该具有形式
y＝C1e^(2x)+C2xe^(2x)+x^2(Ax+B)e^(2x).
也就说，提供的选项没有一个是正确的。

追答

正答忽略了b≠2的情形，抱歉！
事实上，在a＝4、b≠2的情况下，k应该取0，因而非齐次方程的特解刚好具有形式
Y*＝(Ax+B)e^(bx).
所以，答案应该选择B