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解 因为
所以C=21/4。
注意：只要在密度函数不为0的区域上积分就可以了.
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图为信息科技（深圳）有限公司
2021-01-25 广告
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其详细过程是，由密度函数的性质，有∫(-∞,∞)∫(-∞,∞)f(x,y)dxdy=1。
∴k∫(0,∞)x²e^(-2x)dx∫(0,∞)y³e^(-y/2)dy=1。
对∫(0,∞)x²e^(-2x)dx，令t=2x，用分部积分法，∫(0,∞)x²e^(-2x)dx=(1/8)∫(0,∞)t²e^(-t)dt=[-(t²+2t+2)e^(-t)]丨(t=0,∞)=1/4。
同理，对∫(0,∞)y³e^(-y/2)dy，令s=-y/2，可得∫(0,∞)y³e^(-y/2)dy=96。∴k=1/24。
【如若对伽玛函数Γ(α)熟悉，换元后，∫(0,∞)x²e^(-2x)dx=Γ(3)/8=1/4、∫(0,∞)y³e^(-y/2)dy=16Γ(4)=96。易得k=1/24】供参考。
∴k∫(0,∞)x²e^(-2x)dx∫(0,∞)y³e^(-y/2)dy=1。
对∫(0,∞)x²e^(-2x)dx，令t=2x，用分部积分法，∫(0,∞)x²e^(-2x)dx=(1/8)∫(0,∞)t²e^(-t)dt=[-(t²+2t+2)e^(-t)]丨(t=0,∞)=1/4。
同理，对∫(0,∞)y³e^(-y/2)dy，令s=-y/2，可得∫(0,∞)y³e^(-y/2)dy=96。∴k=1/24。
【如若对伽玛函数Γ(α)熟悉，换元后，∫(0,∞)x²e^(-2x)dx=Γ(3)/8=1/4、∫(0,∞)y³e^(-y/2)dy=16Γ(4)=96。易得k=1/24】供参考。
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书本来就没读好问题太深奥。
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