Question

设a大于0，讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x的平方-2（1-a)x的单调性

Answer 1

f '(x)= 1/x+2a(1-a)x-2(1-a)=[2a(1-a)x^2-2(1-a)x+1]/x
1
若a=1;f '(x)>0,单调增
2
若a>1
[2a(1-a)x^2-2(1-a)x+1]开口向下，Δx=4(1-a)(1-3a)>0
大根：x2=[(1-a)+√(1-a)(1-3a)]/2a(1-a)
当0<x<[(1-a)+√(1-a)(1-3a)]/2a(1-a)
f '(x)>0,f(x)单调增；
x>[(1-a)+√(1-a)(1-3a)]/2a(1-a)
f(x)单调减
3
0<a<1时，与2取反
当0<x<[(1-a)+√(1-a)(1-3a)]/2a(1-a)
f '(x)<0,f(x)单调减；
x>[(1-a)+√(1-a)(1-3a)]/2a(1-a)
f(x)单调增

Answer 2

解：定义域{x|x＞0}
f′（x）=1x+2a(1-a)x-2(1-a)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1x
设g（x）=2a（1-a）x2-2（1-a）x+1，x∈（0，+∞）
①若a=1，则g（x）=1＞0
∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②若a＞1则2a（1-a）＜0，g（x）的图象开口向下，
此时△=[-2（1-a）]2-4×2a（1-a）×1=4（1-a）（1-3a）＞0
方程2a（1-a）x2-2（1-a）x+1=0有两个不等的实根
不等的实根为x1=2(1-a)+4(1-a)(1-3a)4a(1-a)，x2=2(1-a)-4(1-a)(1-3a)4a(1-a)
且x1＜0＜x2
∴在（0，2(1-a)-4(1-a)(1-3a)4a(1-a)）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函数；
在（2(1-a)-4(1-a)(1-3a)4a(1-a)，+∞）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是减函数；
③若0＜a＜1则2a（1-a）＞0，g（x）的图象开口向上，
此时△=[-2（1-a）]2-4×2a（1-a）×1=4（1-a）（1-3a）
可知当13≤a＜1时，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，
即f'（x）≥0，f（x）是增函数；
当0＜a＜13时，△＞0，方程2a（1-a）x2-2（1-a）x+1=0有两个不等的实根
不等的实根满足2(1-a)+4(1-a)(1-3a)4a(1-a)＞2(1-a)-4(1-a)(1-3a)4a(1-a)＞0
故在（0，2(1-a)-4(1-a)(1-3a)4a(1-a)）和（2(1-a)+4(1-a)(1-3a)4a(1-a)，+∞）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函数；
在（2(1-a)-4(1-a)(1-3a)4a(1-a)，2(1-a)+4(1-a)(1-3a)4a(1-a)）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是减函数．