Question

已知集合A={x|2a<x<=4},B={x|2<=x<=2a+3},若B不等于空集，切B包含于A，求实数a的取值范围。

我想要详细点的解题过程，谢谢

Answer 1

解：首先考虑B不是空集，则不等式2≤x≤2a+3有解，

　　　因此有：2≤2a+3，即a≥-1/2

　　其次考虑B包含于A，比较两不等式2a<x≤4和2≤x≤2a+3

　　　可得出：2a≤2且4≥2a+3，即a≤1且a≤1/2，取公共部分为a≤1/2

　　综合上述，实数a的取值范围为-1/2≤a≤1/2 

 

  看你想要详细点的解题过程，就再补充几句：

1、B不是空集就等同于不等式2≤x≤2a+3有解，而有解的条件就是2≤2a+3

　　想一下，如果a<x<b有解，那必须首先要a<b才行。

2、B包含于A，就是集合B中的每一个元素都能在集合A中找到，

　　那么，用句通俗易懂（但不是很准确）的话解释，就是：“A要比B的范围大”

　　如何比较两个不等式“范围”的大小呢？

　　想一想，一个是a<x<b，另一个是c<x<d，如果前一个“大”些，

　　那么就必须有a<c，并且同时有b>d才行。如下图所示：

追问

我这样说吧，就用你举得例子，如果ad吗？ 为什么，怎么判断的？

追答

问的好，说明已经看明白了我的解答。
具体过程中，是使用< 还是≤，要看原不等式的符号
比如，本题中2a<x≤4和2≤x≤2a+3两个不等式都是有等号的
是我错了！有一个没有等号，应该是2a<2
好在不影响结果，真不好意思……

追问

呃，那2a<x这部分没有等号，就是2a<2?
为什么不因为2<=x用2a<=2呢？
我还是不太明白这个，只要有一个没有等号，就使用没等号的？还是？

追答

刚才有点糊涂了。还是应该用2a≤2
具体原则：1、如果都有等号，则用有等号的，如果都没有，则用没有的
　　　　　　如：a≤x≤b,c≤x≤d，则应当是a≤c,b≥d
　　　　　2、如果较“小”的那个没等号，则还可以用等号
　　　　　　如：ad

追问

好的我明白了，谢谢

追答

不客气。其实，从上述原则可以看出：
是用≤还是用<，只和那个“范围较大”的不等式有关，与另一个没有关系。
不等号只要与“范围较大”的那个不等式相同，就妥了。