Question

已知M(4,2)是直线L被椭圆X^2+4y^2=36所截得的线段AB的中点,求直线L的方程

Answer 1

【解法一】
设直线L与椭圆的二个交点坐标是A（x1,y1),B(x2,y2),
故有x1+x2=2*4=8,y1+y2=2*2=4
那么有：x1^2+4y1^2=36
x2^2+4y2^2=36
二式相减得：(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0
即直线L的斜率K＝（y1-y2)/(x1-x2)
=-(x1+x2)/[4(y1+y2)]
=-8/16=-1/2
所以，直线的方程是y-2=-1/2(x-4)
即y=-x/2+4
【解法二】
设直线方程为y-2=k(x-4)
即,y=kx+2-4k
设A(x1,y1) B(x2,y2)
把y=kx+2-4k代入x^2+4y^2=36
得 x^2+4(kx+2-4k)^2=36
所以(4k^2+1)x^2+(16k-32k^2)x+64k^2-32k-20=0
所以x1+x2=(32k^2-16k)/(4k^2+1)
又因为M是线段AB中点
所以x1+x2=4*2=8
所以(32k^2-16k)/(4k^2+1)=8
解出k=-1/2
所以此方程为y-2=-1/2*(x-4),
即x +2y -8=0