Question

在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点A,B的极坐标分别为

在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点A,B的极坐标分别为（1，π/3），（3，2π/3），曲线C的参数方程为｛x=rcosa y=rsina（a为参数）。
（1）求直线AB的直角坐标方程
（2）若直线AB和曲线C只有一个交点，求r的值

Answer 1

极坐标（r，θ）转化为直角坐标为（rcosθ,rsinθ）
（1）求直线AB的直角坐标方程
A,B的极坐标分别为（1，π/3），（3，2π/3）,转化为直角坐标为（1/2，1/2根号3），（-3/2，3/2根号3）
直线斜率K=（3/2根号3-1/2根号3）/（-3/2-1/2）=-1/2根号3，得到直线AB的直角坐标方程为
Y=-1/2根号3*X+3/4根号3 式①
（2）曲线C的参数方程为｛x=rcosa y=rsina（a为参数）｝，若直线AB和曲线C只有一个交点，则直线AB和曲线C属于相切关系，且直线AB过切点的垂线经过原点，所以有该垂线的斜率为-1/（-1/2根号3）=2/3根号3，方程为
Y=2/3根号3*X 式②
解式①和式②的方程组得
X=9/14，Y=3/7根号3
r=根号（X²+Y²）=3/14根号21

Answer 2

（1）
把A，B的坐标转换为直角坐标系中的坐标
A(1*cos（π/3），1*sin（π/3）)即A（1/2，√3/2）
B（3*cos（2π/3），3*sin（2π/3））即B（-3/2，3√3/2）
利用两点式求直线方程，得：√3/2x+y-3√3/4=0
（2）
因为直线AB与曲线C只有一个交点，求得曲线C为圆：x^2+y^2=r^2
所以直线AB是其切线，圆心C（0,0）到直线的距离=r
r=d=丨-3√3/4丨/√（√3/2）^2+1^2=3√21/14