Question

求一道高中数学题， 关于椭圆的、

已知O为坐标原点，F为椭圆x²+(y²/2)=1在y轴正半轴的焦点，过F且斜率为-√2的直线L与椭圆交于A,B两点， 且有一点P满足OA+OB+OP=0(向量的运算，字母头上有个箭头打不出来）。
（1）证明：P椭圆上。
（2）设点P关于原点的对称点为Q，证明：A,P,B,Q四点共圆。

Answer 1

首先设椭圆为C,证明如下：

（1）对椭圆C：x2+y2/2=1，c²=a²-b²=2-1=1，∴c=1，焦点为F(0,1)
过焦点斜率为-√2的直线为：y=-√2x+1
代入椭圆方程得 x²+(-√2x+1)²/2=1，整理得 4x²-2√2x-1=0
设交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，向量OA+向量OB=向量OC，则C=C(x1+x2,y1+y2)
因 x1+x2=√2/2，y1+y2=-√2(x1+x2)+2=-1+2=1；∴C=C(√2/2,1)
因 OA+OB+OP=OC+OP=0, ∴OP=-OC
即向量OP与OC大小相等，方向相反，∴P=P(-√2/2,-1)
将P代入椭圆C方程，得 左边=(-√2/2)²+(-1)²/2=1/2+1/2=1=右边
∴点P在椭圆C上
（2）感谢楼下的评论，确实A, P, B, Q四点在同一圆上，当时没想到
证明如下：
直线AB与椭圆相交，由(1)中方程 4x²-2√2x-1=0 可解得
x1=(√2+√6)/4，x2=(√2-√6)/4；
AB直线方程为y=-√2x+1，对应可得 y1=(1-√3)/2，y2=(1+√3)/2
又P的对称点Q即为C，由(1)的求解过程已求得。故可知，A, P, B, Q四点的坐标为：
A((√2+√6)/4,(1-√3)/2), B((√2-√6)/4,(1+√3)/2), P(-√2/2,-1), Q(√2/2,1)
过任意两点的圆的圆心必在两点连线的中垂线上
已知AB斜率为-√2，易求得直线AB中点为E(√2/4,1/2)，∴AB中垂线为 y-1/2=(x-√2/4)/√2
同理，PQ斜率为(-1-1)/(-√2/2-√2/2)=√2，PQ中点为O(0,0)，∴PQ的中垂线为 y=-x/√2
联立两条中垂线，解得交点为M(-√2/8,1/8)
现在，欲证明A, P, B, Q四点在同一圆上，只需证明MA=MB=MP=MQ即可
而MA²=((√2+√6)/4+√2/8)²+((1-√3)/2-1/8)²=99/64 => MA=3/8*√11
MB²=((√2-√6)/4+√2/8)²+((1+√3)/2-1/8)²=99/64 => MB=3/8*√11
MP²=(-√2/2+√2/8)²+(-1-1/8)²=99/64 => MP=3/8*√11
MQ²=(√2/2+√2/8)²+(1-1/8)²=99/64 => MQ=3/8*√11
∴MA=MB=MP=MQ，可知A，P，B，Q四点在同一圆上，证毕

Answer 2

(1)a^2=2 b^2=1 c=1
设L方程为y=-根号2*x+1 A(x1,y1) B(x2,y2) P(x0,y0)
将L方程代入C方程并理：4x^2-2根号2X-1=0
x1+x2=2根号2 y1+y2=-根号2(x1+x2)+2=-3
OA+OB+OP=(x1+x2+x0,y1+y2+y0)=(2根号2+x0,-3+y0)=(0,0)
x0=-2根号2，y0=3，即P(-2根号2,3)
可验证P点坐标满足L方程。
(2)Q(2根号2,-3)