Question

设数列a1=2 an+1-an=3*2^(n-1) （1）求an的通项公式 （2）bn=nan 求bn前n项的和

Answer 1

解：
1.
a(n+1)-an=3×2^(n-1)
an-a(n-1)=3×2^(n-2)
a(n-1)-a(n-2)=3×2^(n-3)
…………
a2-a1=3×2^0
累加
an-a1=3×2^0+3×2^1+...+3×2^(n-2)=3×[2^0+2^1+...+2^(n-2)]
=3×1×[2^(n-1) -1]/(2-1)
=3×2^(n-1) -3
an=a1+3×2^(n-1) -3=2+3×2^(n-1) -3=3×2^(n-1) -1
n=1时，a1=3×2^0 -1=3-1=2，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=3×2^(n-1) -1
2.
bn=nan=3n×2^(n-1) -n
前n项和
Tn=b1+b2+...+bn=3[1×2^0+2×2^1+...+n×2^(n-1)]-(1+2+...+n)
令Cn=1×2^0+2×2^1+...+n×2^(n-1)
则2Cn=1×2^1+2×2^2+...+(n-1)×2^(n-1)+n×2^n
Cn-2Cn=-Cn=2^0+2^1+...+2^(n-1) -n×2^n=(2^n -1)/(2-1) -n×2^n=(1-n)×2^n -1
Cn=(n-1)×2^n +1
Tn=3Cn-(1+2+...+n)=3(n-1)×2^n -n(n+1)/2 +3

Answer 2

(1) a(n+1)-an=3*2^(n-1)
an-a(n-1)=3*2^(n-2)
a(n-1)-a(n-2)=3*2^(n-3)
...
a2-a1=3*2^0
an-a(n-1)+a(n-1)-a(n-2)+...+a2-a1=3*2^(n-2) +3*2^(n-3)+...+3*2^0
an-a1=3*[2^0 +2^1+...+2^(n-2)]=3*[1-2^(n-1)]/(1-2)=3*2^(n-1)-3
an=3*2^(n-1)-1
(2) bn=nan
Sn=b1+b2+...+bn
=a2+2a2+...+nan
=3*2^0-1+2*(3*2^1-1)+...+n*[3*2^(n-1)-1]
=3*2^0+2*3*2^1+...+n*3*2^(n-1)-(1+2+...+n)
2Sn=3*2^1+2*3*2^2+...+n*3*2^n-2*(1+2+...+n)
2Sn-Sn=n*3*2^n-[3*2^0+3*2^1+...+3*2^(n-1)]-(1+2+...+n)
Sn=n*3*2^n-3*(2^n-1)-n(n+1)/2
=(3n-3)*2^n-1/2n^2-1/2n+3