Question

已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）-x2+x）=f（x）-x2+x． （I）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a

有个问题：既然f(x)-x^2+x=f(x)-x^2+x，那么f(x)=x是不是成立的呢？那为什么有f(2)=3呢？解释得明白一点 O(∩_∩)O谢谢~！

Answer 1

worldbl的解释还是比较完整的。
大致上就是说f(y)=y当且仅当存在x使f(x)-x^2+x=y，关键是f(x)-x^2+x不一定能取到一切实数。
f(2)=3说明f(x)-x^2+x不可能等于2。

补充一下怎样求f(1)。由f(2)=3，且f(f(2)-4+2)=f(2)-4+2，得f(1)=f(3-4+2)=3-4+2=1。
如果f(0)=a，代入条件就有f(f(0)-0+0)=f(0)-0+0，即f(a)=a。但是似乎题目只有一半的样子了呢~

Answer 2

f(x)=x不一定成立。
设 y=f(x)-x²+x，由题意，则有f(y)=y 成立。即
对于 函数y=f(x)-x²+x的值域内的实数，才有f(y)=y成立。

追问

谢谢你的回答。那表明2不在f(x)-x²+x的值域内，那为什么可以令f(x)-x²+x中x=2呢？

追答

不好意思，没上网，没能及时解答。说明两点：
1.这并不有什么。令 f(x)-x²+x中的x=2，并不是令 f(x)-x²+x=2。
2.原解答不严密。应为：对于 函数y=f(x)-x²+x的值域内的实数，有f(y)=y成立。不是“才有”。
这表明使 f(y)=y成立的y的范围可能多于函数y=f(x)-x²+x的值域内的实数。

Answer 3

因为f(2)=3,所以把x=2带入原式得
f(f(2)-2^2+2)=f(2)-2^2+2
f(3-4+2)=3-4+2
f(1)=1