【线性代数】这道填空题的思路 20
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如果三线共点,假设交点是(x0,y0),那么
[alpha1,alpha2,alpha3] [x0,y0,1]^T = 0
把[x0,y0,1]^T看成齐次线性方程组[alpha1,alpha2,alpha3] u = 0的非零解
系数矩阵必定奇异,所以alpha1,alpha2,alpha3线性相关
如果alpha1,alpha2线性相关,那么三条直线会平行(包括重合),交点即使存在也不唯一,所以alpha1,alpha2线性无关
反过来,如果alpha1,alpha2,alpha3线性相关,且alpha1,alpha2线性无关
那么齐次线性方程组[alpha1,alpha2,alpha3] u = 0有非零解,并且基础解系只有一个向量,记为 [x0,y0,z0]^T
只需要证明z0非零即可(此时三线交点是(x0/z0,y0/z0))
如果z0=0,那么[alpha1,alpha2] [x0,y0]^T = 0,得到x0=y0=0,这与基础解系的向量非零矛盾
[alpha1,alpha2,alpha3] [x0,y0,1]^T = 0
把[x0,y0,1]^T看成齐次线性方程组[alpha1,alpha2,alpha3] u = 0的非零解
系数矩阵必定奇异,所以alpha1,alpha2,alpha3线性相关
如果alpha1,alpha2线性相关,那么三条直线会平行(包括重合),交点即使存在也不唯一,所以alpha1,alpha2线性无关
反过来,如果alpha1,alpha2,alpha3线性相关,且alpha1,alpha2线性无关
那么齐次线性方程组[alpha1,alpha2,alpha3] u = 0有非零解,并且基础解系只有一个向量,记为 [x0,y0,z0]^T
只需要证明z0非零即可(此时三线交点是(x0/z0,y0/z0))
如果z0=0,那么[alpha1,alpha2] [x0,y0]^T = 0,得到x0=y0=0,这与基础解系的向量非零矛盾
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