Question

关于函数导数问题，有答案。只是有个问题不明白…

题目：设函数f（x）=x－ln（x+m）,其中常数m为整数.

（Ⅰ）当m为何值时,f（x）≥0;

解：（Ⅰ）∵f（x）=x-ln（x+m），x∈（-m，+∞），
∴f′(x)=1-1 x+m =x-(1-m) x+m ，令f'（x）=0，得x=1-m．------------（2分）
当x∈（-m，1-m）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数，f（x）＞f（1-m）
当x∈（1-m，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，f（x）＞f（1-m）---（4分）
根据函数极值判别方法，f（1-m）=1-m为极小值，
而且对x∈（-m，+∞）都有f（x）≥f（1-m）=1-m．
故当m≤1时，f（x）≥0．---------------（6分）
1.请看到解答的步骤：
当x∈（-m，1-m）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数，f（x）＞f（1-m）
当x∈（1-m，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，f（x）＞f（1-m）

我知道判断这个区间递增还是递减就带入一个区间的数值进去 看是大于0还是小于0
但是这里的区间：x∈（-m，1-m）并不是一个实数 题目中要求m，所以不知道m的值取多大。那么面对这种区间的时候，怎样判断它是增函数还是减函数?

2.能不能说一下简便判断这个区间是增函数还是减函数的方法？

Answer 1

f′(x)=[x-(1-m)]/( x+m)
当x∈（-m，1-m）时，∵x<1-m，∴分子x-(1-m)<0，∵x>-m，∴分母x+m>0，∴f'(x)<0，减函数
同理，当x∈（1-m，+∞）时，∵x>1-m，∴分子x-(1-m)>0，∵x>1-m，∴分母x+m>1>0，∴f'(x)>0，增函数

追问

f′(x)=[x-(1-m)]/( x+m)
这是什么。

追答

就是你题目中解得第二行的∴f′(x)=1-1 x+m =x-(1-m) x+m ，
你这儿是把分号写掉了，我帮你补上了，应该是f′(x)=1-1 /(x+m) =[x-(1-m) ]/(x+m)

Answer 2

一样的，当作已知常数。

Answer 3

有什么问题？没问题啊

追问

有问题了啊

追答

1、
你知道判断这个区间递增还是递减就带入一个区间的数值进去 看是大于0还是小于0
“x∈（-m，1-m）并不是一个实数 题目中要求m，所以不知道m的值取多大”，你不用管m是多大 你可以取m+1/2,你就当m已知，是个常数就行了
2、不是带值进去算，而是另 f'（x）＜0 解不等式求出 x的区间x∈（-m，1-m），因为f'（x）＜0，所以f（x）为减函数

Answer 4