Question

为什么上面的式子不可用等价无穷小，而下面的可以用呢？

我知道只有整个式子的乘除因子才能用等价无穷小，有加减时不能用。那为什么第二个式子可以用

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Answer 1

上面的也可以用的，但是，等价无穷小实际上是泰勒公式，也就是幂级数展开式，ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-x⁴/4+.+(-1)ⁿֿ¹xⁿ/n+.,(-1，这里替换实际上可以替换为x-x²/2+x³/3+o(x^3),那么分子除以分母则等于x/3+o(x^3),而下面的替换实际上也是泰勒公式没错，但是因为是乘法，后面的+o(x^3,x^4)都等于0了，所以直接sinx~x，这样替换没问题。
所以归根结底，等价无穷小的替换实际上就是讲一个函数以泰勒公式，或者说是幂级数展开，这里的泰勒公式一般是佩亚诺余项，而乘除法因为后面的高阶无穷小为0，所以可以只等价于它的主部，加减法需要展开到可以消元为高阶无穷小前一项为止，比如(x+x^2+x^3+x^4+o(x^4)),这里的x^4恰好无法消除或者是刚好消除，就只展开到这里，也就是相当于等价到这里，而不是单纯的等价于它的主部“x”。你可以自己体会一下，这里面的区别，所以加减法一般是会通分，整体代换，之类的做法，部分元素进行替换需要注意等价替换到哪一阶。

Answer 2

要求无穷小加减以后不为0，才可以使用
第一个，ln(1+x)-x=0，x^2/2=0，使用错误
第二个，xsin(2/x)=2，[cos(1/x)-1]*x=0，可以使用

Answer 3

ln(1+x)/x 代替实际上是 x+o(x)/x=1+o(x)/x
o(x)是x的高阶无穷小 o(x)/x=0
但是这下面还有个x要除
=1/x+o(x)/x^2

o(x)/x^2 你就不知道谁大谁小了
同理
下面那个 lim不写了

=x*(2/x+o(x))=2+xo(x)=2

Answer 4

可以，在ln后面是个完整的式子等于1，用落必达法则求也是一样的。

追问

第一个式子可以的话，求出来是二分之一诶

Answer 5

是可以的。须注意的是，取前n项即n=1,2，或者3，及其它值，得根据需要“解决问题”的情况而定。
∵x→0时，ln(1+x)=x+O(x)=x-x²/2+O(x²)=x-x²/2+x³/3+O(x³)，∴x、x-x²/2、x-x²/2+x³/3、…，均是ln(1+x)的等价无穷小量。
本题中，取“ln(1+x)~x-x²/2+x³/3”即可。原式=lim(x→0)[(x-x²/2+x³/3)/x+x/2-1]/x=原式=lim(x→0)x²/3=0。
供参考。