Question

高数23题，关于可导的充要条件问题，B，D选项的答案划线部分没看懂，请解答？

B选项为什么是右导数，根据导数的定义不应该是1/2f'(0)吗？
D选项，虽然知道h~tanh~-1/3h^3怎么得到的，但是它在D选项的作用是？是凑不成导数定义小形式的原因吗？答案直接“于是”了，我没反应过来。

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Answer 1

首先明确，在一个点可导，需要左导数等于右导数，则可导。
然后我们讲导数定义广义化，则有u→0，f'(x0)=[f(x0+u)-f(x0)]/u,这里的三个u必须一模一样，且分子的-f(x0)不能有任何增量出现。那么对于B而言，变形答案中已给，这里答案只要修改一下,改成lim(1-cosh→0﹢）f(0+1-cosh)-f(0)/1-cosh * lim(h→0)1-cosh/h^2=f'+(0)*1/2=f'+(0)/2,不难看出，因cosh≤1，那么1-cosh→0﹢，再回到我上面给的，三个u必须一致，也就是这里的1-cosh，就不难看出，这仅仅只能表示一个右导数，因为这个u(也就是1-cosh)只能从单侧趋向于0而已。
再看D，首先做类似于B选项的变形，这里则有lim（h-tanh→0）[f（0+h-tanh)-f(0)]/h-tanh*lim(h→0）h-tanh/h^2,（这里设为I）这里由泰勒公式，无穷级数，或者题目中的比阶可以看出，h-tanh是等价于-h^3/3,是个三阶的无穷小，那么可以得到h-tanh/h^2=0,无穷小乘以左式（也就是lim（h-tanh→0）[f（0+h-tanh)-f(0)]/h-tanh）存在,并不要求左式存在（即是一个数），只需要左式有界就可以了，因为0乘以有界必然还是0，那么整体存在，即可以这么理解，如果左式是一个有界震荡的值，那么则成立，这种情况下导数是不存在的，因为不是一个确定的数，同样的，若令此时的f(x)=|x|,我们带入计算可以得到左式也就是f'(0)=±1，显然也不存在，所以D就是因为高阶无穷小比阶之后带来的无穷小，不能确定左式也就是导数是否为一个确定的值，也就不能确定导数存在。

追问

我感觉你写的很有道理，但是都是文字，倒不过来，能用图吗？谢谢，我提高下悬赏值。

追答

内容如下，跟文字内容差别不大,差不多就给个采纳。

Answer 2

D他能得到f(h^3)/h^2存在，但是导数要的是f(h^3)/h^3存在才能行，所以D否决
至于B，1-cosx>0，对于导数而言，必须确保在+/-侧都能求导，而B的条件不能保证0-处可导

Answer 3

关于B，第194页倒数第二行最后一个等号左端在h→0时，1-cosh→0+. 若令1-cosh＝t，则当h→0时，t→0+. 于是
左端＝lim(t→0+) [f(0+t)-f(0)]/t * 1/2＝1/2 f'+(0).

关于D，划线部分前一行已有h-tanh~-1/3 h^2，则有
lim(h→0)f(h-tanh)/h^2＝lim(h→0)f(h-tanh)/[-3(h-tanh)]
＝-1/3 *lim(h→0){f[0+(h-tanh)]-f(0)}/(h-tanh)＝-1/3 *f'(0).
所以D也是正确的。原解答错误！

追答

C选项反而是错误的！理由是：
当h→0时，e^h→0+，故原解答此处最后的结果中的导数应该是右导数，而左导数不能保证存在

看错了！C也是对的，抱歉！

Answer 4

无论h从负方向还是正方向趋近于0时，B选项中的函数增量都是从0正方向趋于0（上下都是h平方的同阶无穷小）。因此只能保证右导数存在
h-tanh是通过泰勒公式展开得到的

Answer 5

高收益呀！