Question

∫e^x(sinx)^2dx

详解

Answer 1

采用分部积分法
∫e^x(sinx)^2dx
=∫(sinx)^2d（e^x）
=e^x(sinx)^2- ∫e^x(2sinxcosx)dx
= e^x(sinx)^2- ∫sin2xd(e^x)
∫sin2xd(e^x)=sin2xe^x- 2 ∫cos2xd(e^x)
= sin2xe^x- 2 cos2xe^x-4 ∫sin2xd(e^x)
故5∫sin2xd(e^x)=sin2xe^x- 2 cos2xe^x
∫sin2xd(e^x)=1/5sin2xe^x- 2/5 cos2xe^x+c

∫e^x(sinx)^2dx
= sin2xe^x- 2 cos2xe^x-4 ∫sin2xd(e^x)
= sin2xe^x- 2 cos2xe^x-4/5sin2xe^x-+8/5 cos2xe^x+c
= 1/5sin2xe^x- 2/5 cos2xe^x +c

Answer 2

∫e^x(sinx)^2dx =1/2∫e^x(1-cos2x)dx =1/2∫(e^x-e^xcos2x)dx =1/2∫e^xdx-1/2∫e^xcos2xdx =1/2e^x-1/2∫e^xcos2xdx ∫e^