Question

如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F,CG是AB边上的高。

（1）DE、DF、CG的长之间存在着怎样的等量关系？并说明理由；（从面积的角度思考） （2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由。

Answer 1

解：（1）DE+DF=CG．
证明：连接AD，
则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即 12AB•CG= 12AB•DE+ 12AC•DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．

（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE-DF=CG．
理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，
即 12AB•DE= 12AB•CG+ 12AC•DF
∵AB=AC，
∴DE=CG+DF，
即DE-DF=CG．
同理当D点在CB的延长线上时，则有DF-DE=CG，说明方法同上

Answer 2

第一题：DE+DF=CG。
S三角形ABC=AB*CG/2
连接 AD，
S三角形ABC=S三角形ABD+S三角形ACD
=AB*DE/2+AC*DF/2
=AB*（DE+EF）/2
AB*CG/2 =AB*（DE+EF）/2
DE+DF=CG。

第二题：D在BC的延长线上，CG=DE-DF，
S三角形ABC=AB*CG/2
连接 AD，
S三角形ABC=S三角形ABD-S三角形ACD
=AB*DE/2-AC*DF/2
=AB*（DE-EF）/2
AB*CG/2 =AB*（DE-EF）/2
CG=DE-DF。
同理D在CB的延长线上，CG=DF-DE