Question

不定积分，哪里错了？

Answer 1

“要求（所作代换函数的）反函数可导”是不准确的（不知你用的谁编写的教材）！
计算不定积分的第二换元法对所作代换函数x=h(t)只要求其“单调、有连续导数且导函数h'(t)不等于零”就够了。其中的“有连续导数”保证了代换后的被积函数f[h(t)]h'(t)是连续函数（因为前提是f(x)连续，而连续函数的复合函数f[h(t)]连续、连续函数的乘积连续，当然f[h(t)]h'(t)连续），进而它存在原函数F(t)。“单调、可导且导函数h'(t)不等于零”则保证了h(t)有反函数，进而可以将该反函数代入F(t)，最后得到关于x的原函数。
注：具体请参见同济大学《高等数学》（第六版）上册不定积分第二换元法部分的内容。

Answer 2

（个人愚见，希望能对你有所帮助）这两个式子只是差了一个常数，sec²x＝tan²x＋1。

Answer 3

你写掉了一个常数c，1/2（sec^2x＋1）＋c等于1/2tan^2x＋c