Question

已知sinα＝1/2+cosα，且αε（0，兀/2），则cos2α/sin（α-兀/4）的值为

Answer 1

解：∵sinα=1/2+cosα
∴sinα-cosα=1/2
则 (sinα-cosα)²=1/4
∴ 1-2sinα*cosα=1/4
∴ sin2α=3/4
∴1+sin2α=1+3/4
∴(sinα+cosα)²=7/4
又 α∈(0，π/2)
∴ sinα>0，cosα>0
∴ sinα+cosα=√7/2
原式=cos2α/sin(α-π/4)
=(cosα-sinα)(cosα+sinα)/(sinα*cosπ/4-cosα*sinπ/4)
=-(sinα-cosα)(sinα+cosα)/(√2/2)(sinα-cosα)
=-√2(sinα+cosα)=-√2×√7/2=-√14/2

Answer 2

(sina－cosa)²=1－2sinacosa=1/4，则：2sinacosa=3/4，则1＋2sinacosa=7/4，即：(cosa＋sina)²=7/4，因sina、cosa都是正，则cosa＋sina=√7/2。而cos(2a)/sin(a－π/4)=sin(π/2－2a)/sin(a－π/4)=－{sin[2(a－π/4)]/[sin(a－π/4)]=－2cos(a－π/4)=－(√2cosa＋√2sina)=－(√2)×(√7/2)=－√14/2