Question

设函数f(x)=x+1/x,先求函数的单调区间.再用函数单调性的定义给予证明

Answer 1

f(x)=x+1/x的导函数g(x)=1-1/x²
所以 函数的单调增区间是x∈（-∞，-1）U（1，+∞）
函数的单调减区间是∈（-∞，-1）U（1，+∞）

证明：
（1）当x∈（-∞，-1）U（1，+∞）时函数为单调增
设x1＞x2，且x1、x2∈（-∞，-1）U（1，+∞）
那么[f(x1)-f(x2)]/（x1-x2）=1-1/（x1*x2）＞0
——因为x∈（-∞，-1）U（1，+∞） ，所以1/（x1*x2）＜1
所以f(x)在x∈（-∞，-1）U（1，+∞） 范围内是单调增
（2）当 x∈（-1,1） 时函数为单调减
设x1＞x2，且x1、x2∈（-1,1）
那么[f(x1)-f(x2)]/（x1-x2）=1-1/（x1*x2）＜0——因为x∈（-1,1），所以1/（x1*x2）＞1
所以f(x)在x∈（-1,1）范围内是单调减

追问

导函数？？？还要用函数单调性的定义给予证明

追答

导函数就是对函数求导

追问

函数的单调增区间是x∈（-1,1）怎么可能，x不能=0

追答

你说的对，x不等于0
所以单调区间应为
所以 函数的单调增区间是x∈（-∞，-1）U（1，+∞）
函数的单调减区间是x∈（-1，0）U（0，1）

另外，我后来的答案给改错了
但证明的过程是对的，当然减区间应变为x∈（-1，0）U（0，1）

Answer 2

要先此题有意义，x不等于0，则求的单调区间（-∞，0）或者（0，+∞）我们可以在每个区间内带入一个特殊值：如，-1,1可知，函数单调性先减侯增！

Answer 3

X在﹙0，﹢∞﹚上递减，在﹙－∞，0]上递减

设任意X1＞X2＞0,那么1／X1 ＜ 1／X2 恒成立 ,可知，函数在零到正无穷上递减。
设任意X1＜X2＜0,那么1／X1 ＞ 1／X2 恒成立 ,可知，函数在负无穷到零上递减。

Answer 4

1.先求导，f'(x)=1-1/x2。
又因为f（x)的定义域为x不等于0，所以当x属于[-1，0）和（0,1]时，f'（x)小于0，所以在此区间内，f(x)单调递减。同理可得，当x属于（负无穷，-1）和（1，正无穷）时，f(x)单调递增。

后面这问，写起来也太麻烦了，你只要设一下四个区间内x的大小，带入定义给个形式就差不多 了。