二次函数全面知识(支持原创)
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首先是二次函数的解析式问题。
1、待定系数法求解析式,即通常所说的联立方程求a、b、c
2、利用对称轴x=-b/2a辅以适当的坐标也能求解析式,又例如已知f(x+1)=f(x-1)就是说这个二次函数对称轴是x=1
3、实际问题的求解析式,建立坐标系时尽量使这个二次函数成为偶函数,那么只要两个坐标点就可以求得解析式,有时也要利用偶函数的对称性求解其他问题
然后是值域问题
1、根的判别式要熟练
2、二次不等式要求熟练十字相乘(对考试解题速度或是高二的导函数求解很有用)
3、韦达定理(注意韦达定理成立的必要条件是根的判别式大于等于0,尤其是圆锥曲线联立方程时一定不能忽视)
4、某区间值域问题,注意给定的区间是否包括顶点,或是要判断区间是在对称轴左边还是右边,是减区间还是增区间,高考的函数应用题求值域经常要熟练判断
第三是数学模型和函数的思想
这是高中数学的灵魂,很多问题的求最值在适当的条件下能化成二次函数的模型求解。例如求指数函数的解,换元的思想;数列前n项和的最值问题;立体几何体积、面积最值问题等都可以化成二次函数的形式求,其中体现了换元的重要思想。
第四是根的存在问题
这类问题最基本的就是考数形结合的思想,关键抓住四点:
1、特殊点的取值
2、根的判别式
3、对称轴
4、二次函数的某区间的单调性
例如f(x)=x^2+ax+1在[0,1]上有一实根,求a的范围
只需令f(0)·f(1)<=0且根的判别式>=0即可
第五是分类讨论的思想
首先是二次项系数正负或等于0的问题,具体问题具体分析
其次是讨论一个二次函数在某区间的单调性问题,这就要对对称轴进行讨论
1、待定系数法求解析式,即通常所说的联立方程求a、b、c
2、利用对称轴x=-b/2a辅以适当的坐标也能求解析式,又例如已知f(x+1)=f(x-1)就是说这个二次函数对称轴是x=1
3、实际问题的求解析式,建立坐标系时尽量使这个二次函数成为偶函数,那么只要两个坐标点就可以求得解析式,有时也要利用偶函数的对称性求解其他问题
然后是值域问题
1、根的判别式要熟练
2、二次不等式要求熟练十字相乘(对考试解题速度或是高二的导函数求解很有用)
3、韦达定理(注意韦达定理成立的必要条件是根的判别式大于等于0,尤其是圆锥曲线联立方程时一定不能忽视)
4、某区间值域问题,注意给定的区间是否包括顶点,或是要判断区间是在对称轴左边还是右边,是减区间还是增区间,高考的函数应用题求值域经常要熟练判断
第三是数学模型和函数的思想
这是高中数学的灵魂,很多问题的求最值在适当的条件下能化成二次函数的模型求解。例如求指数函数的解,换元的思想;数列前n项和的最值问题;立体几何体积、面积最值问题等都可以化成二次函数的形式求,其中体现了换元的重要思想。
第四是根的存在问题
这类问题最基本的就是考数形结合的思想,关键抓住四点:
1、特殊点的取值
2、根的判别式
3、对称轴
4、二次函数的某区间的单调性
例如f(x)=x^2+ax+1在[0,1]上有一实根,求a的范围
只需令f(0)·f(1)<=0且根的判别式>=0即可
第五是分类讨论的思想
首先是二次项系数正负或等于0的问题,具体问题具体分析
其次是讨论一个二次函数在某区间的单调性问题,这就要对对称轴进行讨论
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