Question

设f(x)=inx,g(x)=f(x)+ f'(x)

设f(x)=inx,g(x)=f(x)+ f'(x)
(1)求g(x)的单调区间和最小值
(2)讨论g(x)与g(1/x)的大小关系
(3)求a的取值范围，使得g(a)-g(x)<1/a对任意x>0成立

Answer 1

1. g'(x)=1/x -1x^2=(x-1)/x^2 因此g(x)在(0,1)上递减(1,正无穷)上递增
所以又最小值g(1)=1
2.令h(x)=g(x)-g(1/x)=2lnx+1/x-x h'(x)=2/x-1/x^2-1=(-x^2+2x-1)/x^2=-(x-1)^2/x^2<0
因此h(x)递减 h(1)=0 所以 当0<x<1时 g(x)>g(1/x);当1<x<正无穷时 g(x)<g(1/x)当x=1时 g(x)=g(1/x)
3.g(a)-1/a<g(x) g(x)的最小值是g(1)=1 所以只需g(a)-1/a=lna<1 所以 1<a<e

追问

第三问能在详细一点么 我没有太看懂

追答

g(a)-g(x)0成立 也就是g(a)-1/a0成立,对使得g(x)取到最小值的x也成立 所以g(a)-1/a0 所以0<a<e